Рассмотрим нестационарную температурную задачу трения по В.А. Кудинову. Представим стержень прямоугольного сечения, прижатый давлением р к поверхности вращающегося диска (рис. 6.2).

Предполагаем, что материал диска обладает большей прочностью; при этом в поверхностном слое стержня возникают пластические деформации, одинаковые по толщине, а значения температур плоскостей, ограничивающих поверхностный слой, равны между собой.

Математическое описание такой задачи сводится к решению одномерного уравнения теплопроводности для бесконечного слоя толщиной К внутри которого на единицу объема выделяется количество теплоты q;

где р — плотность материала слоя; с — теплоемкость; 0 — температура слоя; Я — коэффициент теплопроводности; z — начало координатной оси расположено на средней поверхности слоя; t — время.

Методика вычисления функции тепловыделения q_v для рассматриваемого слоя изложена в работах М.П. Савицкого. В соответствии с расчетной схемой краевые и начальные условия принимаем в следующем виде (предполагается, что в начальный момент температура окружающей среды и слоя равна ®₀):

где а— коэффициент теплопередачи.

Интегрируя уравнение (6.1) по толщине с учетом краевых условий, получим дифференциальное уравнение первогопорядка:

где А = 2a/(hpc).

Решение уравнения (6.3) с учетом начального условия (6.2) имеет вид:

Для границы слоя z = h/2 формула (6.4) для стационарной температуры совпадает с данными, полученными ранее В.А. Кудиновым:

толщина слоя

Полученное выражение позволяет с достаточной для практических приложений точностью определить время выхода на стационарный режим в зависимости от параметров, входящих в постоянную А, а также максимальную температуру разогрева слоя. По данным В.А. Кудинова, перепад температур по тепловыделению при торможении современного самолета, может составить 400°С для стали.