Приведенные методы показывают некоторые пути решения рассматриваемой задачи и те трудности, которые могут при этом встретиться. Эти методы требуют больших углов обзора исследуемого объекта, весьма громоздки и вызывают большие трудности при численной обработке результатов. Поэтому рассматриваемая задача для окончательного решения требует поиска новых методов решения и совершенствования предложенных.

7.2. Восстановление объемного распределения показателя преломления фазовых объектов методом решения несовместной переопределенной системы алгебраических уравнений

Рассмотрим метод восстановления распределения показателя преломления по результатам голографической интерферометрии фазового объекта, основанный на приближенном решении несовместной переопределенной системы линейных алгебраических уравнений [18]. Экспериментальной основой данного метода служит ряд интерферограмм фазового объекта, полученных при диффузном освещении и соответствующих наблюдению объекта с разных ракурсов. Ограничимся для простоты случаем двух измерений. Метод нетрудно обобщить наслучай трех Измерений, либо применить последовательно к различным сечениям, перпендикулярным оси z. Практически необходимо найти распределение изменения показателя преломления An {х, у) = п (х, у) — п₀, где п (х, у) — показатель преломления объекта; п₀ — окружающей среды.

Представим искомое распределение An (х, у) в виде функции, принимающей постоянное значение на участках области исследуемого фазового объекта (рис. 7.3). Тогда An будет представляться вектором ос =

= (Ot₁a_N), размерность которо

го N равна числу участков разбие ния. При восстановлении дваждь экспонированной голограммы и: точки А получим интерферограмм) объекта, соответствующую наблю дению из этой точки. По интерферо грамме можно восстановить значе ния интегралов р_г от искомой функ ции An (х, у) вдоль некоторых пря мых і. Каждой прямой соответству ет линейное алгебраическое уравне ние, например Z₁₁ Oc₁ + Z₁₇ а₇ = P (рис. 7.3), где коэффициенты I₁ и I₁₁— длины отрезков прямой ин тегрирования 1 на участках, гд< функция принимает значения Oc₁ и а, соответственно. Аналогично мож но записать N уравнений для N лу чей, проведенных из одной или нескольких точек на голограмме. Полученная система уравнений может быть неопределенной, поскольку при большом числе неизвестных трудно выбрать систему лучей, задающую независимую систему уравнений. Кроме того, ошибка при экспериментальном определении правых частей уравнений и аппроксимация реальной функции ступенчатой могут привести к тому, что система будет несовместной. Поэтому при решении системы относительно неизвестных (GC₁, ..., GCjv) можно получить приближенное решение, удовлетворяющее некоторым дополнительным требованиям. Практически при нахождении приближенного решения целесообразно рассматривать систему M уравнений, где М> N. В этом случае следует ожидать лучшего приближения, так как будут усредняться и ошибки измерений правых частей и ошибки, связанные с выбранной аппроксимацией функции.